高数第七章
微分方程
一、微分方程的基本概念
1.凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间关系的方程叫做微分方程。
2.最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。
3.通解：微分方程的解中含有任意常数，且常数个数与方程阶数相同。
二、可分离变量微分方程
1.可分离变量微分方程：含x，y的项，可以分别写在等号两侧，然后进行反导。
三、齐次方程
1.一阶微分方程： $\frac{dy}{dx}$=φ($\frac{y}{x}$)，或者可化为这种形式的方程称为齐次方程。
设u=$\frac{y}{x}$，所以说y=ux,$\frac{dy}{dx}$=u+x($\frac{du}{dx}$)
带入原函数可计算
最后再将u用x,y替换回来。
四、一阶线性微分方程
1.一阶线性微分方程：$\frac{dy}{dx}$+$P_x$y=$Q_x$
若$Q_x$=0,则方程为齐次的，反之为非齐次的。
2.非齐次方程求解：
①先求出对应齐次线性方程的解。
②然后设常数项C为$u_x$。
③然后将u代入y，求出y’。
④将y与y’代入题方程中变换得出u。
⑤再将u代入齐次方程解中得出非其次方程解。
五、可降阶的高阶微分方程
1.y^(n)^=f(x)型：
此类型没什么特殊的，一阶一阶求积分即可。
2.y’’=f(x,y’)型（不含y）：
设y’=P
$\therefore$y’’=P’
方程变成了一阶微分方程，求解，再进行替换即可。
3.y’’=f(y,y’)型（不含x）：
设y’=P
$\therefore$y’’=P$\frac{dP}{dy}$
代入原方程，积分……即可
六、高阶线性微分方程
二阶齐次线性方程：y’’+P(x)y’+Q(x)y=0
定理一：如果函数$y_1$(x)与$y_2$(x)是该方程的解，那么
y=$C_1$$y_1$(x)+$C_2$$y_2$(x)
也是其解。
定理二：如果$y_1$(x)与$y_2$(x)是方程的两个线性无关的特解，那么
y=$C_1$$y_1$(x)+$C_2$$y_2$(x)
也是方程通解。
定理三：设y^^是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的一个特解
Y（x）是对应齐次方程的通解，则y=Y(x)+y^^(x)
也是二阶非齐次线性方程的通解。
定理四：设非其次线性方程右端f(x)是两个函数之和，即
y’’+P(x)y’+Q(x)y=$f_1$(x)+$f_2$(x)
而$y_1$^^(x)与$y_2$^^(x)分别是方程
y’’+P(x)y’+Q(x)y=$f_1$(x)与
y’’+P(x)y’+Q(x)y=$f_2$(x)的特解
则$y_1$^^(x)+$y_2$^^(x)是原方程的特解
七、常系数齐次线性微分方程
1.对应y=0,y’=r,y’’=r^2^
| 特征方程r^2^+pr+q=0的两根r1,r2 | 通解 |
|---|---|
| 不等实根 | y=$c_1$ e^(r1x)^+ $c_2$ e^r2x^ |
| 相等实根 | y=($c_1$+$c_2$x)e^r1x^ |
| 共轭复根r1,2=α±βi | y=e^αx^($c_1$cosβx+$c_2$sinβx) |
| 2. | |
| 特征方程的根 | 微分方程通解中的对应项 |
| - | - |
| 单实根r | 给出一项：Ce^rx^ |
| 一对单复根r1,2=α±βi | 给出两项：e^αx^($C_1$cosβ+$C_2$sinβ) |
| k重实根r | 给出k项：e^rx^($C_1$+$C_2$x+…+$C_k$x^k-1^) |
| 一对k重实根r1,2=α±βi | 给出2k项：e^αx^[($C_1$+$C_2$x+…+$C_k$x^k-1^)]cosβx+（$D_1$+$D_2$x+…+$D_k$x^k-1^sinβx） |
第八章：常系数非齐次线性微分方程
一般形式：y’’+py’+qy=f(x)
1.f(x)=e^λx^$P_x$(x)型：
（i）如果λ不是特征方程r^2^+pr+q=0的根，即λ^2^+pr+q≠0，则设$R_m$(x)=$b_0$ x^m^ + $b_1$ x^m-1^ + … + $b_m$$_-$$_1$ x + $b_m$
(ii)如果λ是特征方程得单根，即λ^2^+pr+q=0,但2λ+p≠0，则设R(x)=x$R_m$(x) [用同样的方法确定$R_m$(x)的系数$b_i$]
(iii)如果λ是特征方程r^2^+pr+q=0的重根，即λ^2^+pr+q≠0，且2λ+p=0 ，则设R(x)=$x^2$$R_m$(x) [用同样的方法确定$R_m$(x)的系数$b_i$]
综上:
如果f(x)=e^λx^$P_x$(x),那么二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如：y*=$x^k$$R_m(x)$e^λx^,其中k按是不是特征方程的解取值依次为0,1,2.
2. f(x)=e^λx^[$P_l$(x)$\cos\omega$x+$Q_n$(x)$\sin\omega$x]
直接结论：
设特解为：y*=x^K^e^λx^[$R_m^1$(x)$\cos\omega$x+$R_m^2$(x)$\sin\omega$x]
· 其中$R_m^1$(x)，$R_m^2$(x)是m次多项式（$R_m$(x)=$b_0$ x^m^ + $b_1$ x^m-1^ + … + $b_m$$_-$$_1$ x + $b_m$），m=max { l,n }.【l,n为三角函数前所跟x的多少次方】
· k按λ+ωi（或λ-ωi）不是特征方程的根，是特征方程的根依次取0或1
==求特解步骤：
①写出对应齐次方程。
②变成特征方程。
③计算λ或 { λ+ωi (λ-ωi) ｝是不是特征方程的根，设出特解y*。
④计算出y’,y’’代入题中原方程。
⑤待定系数法求出未知数，得出微分方程特解。
⑥求通解的话，再加上对应齐次方程通解即可==
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